Anfang der 2000er Jahre stellte eine Theorie des Physikers Luciano Pietronero vom Institut für komplexe Systeme der Universität La Sapienza in Rom die Hypothese auf, dass die Verteilung der Materie in Galaxien nicht kontinuierlich sei, sondern dem sogenannten folgte fraktale Geometrie. Die erste Kartierung der Dunklen Materie – der hypothetischen Komponente der Materie, die keine elektromagnetische Strahlung aussendet –, die von Richard Massey vom California Institute of Technology durchgeführt und in der Fachzeitschrift Nature veröffentlicht wurde, schien dem italienischen Physiker Recht zu geben. „Dunkle Materie ist nichts weiter als ein Fleck, der Theorien rechtfertigt – argumentierte Pietronero – Fraktale klären diese Phänomene viel besser.“
Fraktale? Aber worüber reden wir? Lassen Sie es uns erklären: Ein Fraktal ist ein ganz besonderes mathematisches Objekt mit erstaunlichen Eigenschaften. Das erste ist, keins zu haben Größe ganz, aber gebrochen. Die zweite besteht darin, sich selbst in jeder Darstellungsskala zu ähneln, selbst im unendlich kleinen (interne omothetie). Paradoxien? Nein, Konzepte – keineswegs abstrakt – die viel mit der Realität zu tun haben. Schauen Sie sich einfach den Neuschnee genau an, der sich auf dem Boden niederlässt, einen römischen Brokkoli (Brassica oleracea), einen Farn, die Äste von Bäumen oder die Lungenbläschen. Was fehlt, ist die perfekte Regelmäßigkeit und die Tatsache, dass die Vergrößerung nicht unendlich fortgesetzt werden kann, da Fraktale sonst die Form dieser Objekte viel besser annähern als herkömmliche Geometrie.
Der Vater der fraktalen Geometrie Benoît Mandelbrot Auf die Frage „Wie viel messen die Küsten Großbritanniens?“ pflegte er folgendermaßen zu antworten: „Das hängt von der Länge des Messgeräts ab.“ Und tatsächlich nimmt mit jeder Verkürzung der Länge des gewählten Messgerätes auch die Länge der Küste zu, da immer kleinere Kurven berücksichtigt werden können. Im Gegensatz zu den Kurven der euklidischen Geometrie, die beim Vergrößern zu geraden Linien werden, verschwinden die Teilfalten von Küstenlinien, Bergen und Wolken beim Vergrößern nicht. Wird die Länge einer Küste mit immer kürzeren Messstäben gemessen, wächst ihre Länge ins Unendliche. Stellen Sie sich stattdessen die Tangente einer Kurve an jedem ihrer Punkte vor: Lokal, das heißt in einer ausreichend kleinen Umgebung dieses Punktes, kann die Kurve an ihre Tangente angenähert werden. Im Fall eines fraktalen Systems gibt es keine Regularisierung der Struktur in irgendeiner Größenordnung, da ihre Komplexität und Regelmäßigkeit nicht mit dem Maßstab variieren. Diese große Unregelmäßigkeit kann daher nicht mit herkömmlichen mathematischen Methoden beschrieben werden.
Die ersten Studien zu Fraktalen wurden von Leuten wie Karl Weierstraß (1872) durchgeführt, der als Begründer der modernen mathematischen Analyse gilt, gefolgt von den Forschungen des Italieners Giuseppe Peano (1890) und im 1975. Jahrhundert von den Polen Wacław Sierpiński und der Franzose Gaston Julia sowie Koch und Hausdorff. Der bereits erwähnte Mandelbrot prägte den Namen „Fraktal“ erst 1. Auf die Frage „Wie lang sind die Küsten Großbritanniens?“ konnte der französische Mathematiker keine Antwort finden, versuchte aber, eine Bruchzahl (zwischen 2 und XNUMX) zu definieren, die die Einbuchtung der Küste identifizieren würde. Fraktale Geometrie war definitiv ein „disruptives“ Thema (Bruch mit den Theorien der Vergangenheit), sollte aber nicht als eine Art neue mathematische Ordnung angesehen werden, mit der die damaligen Gelehrten wissenschaftliche Erkenntnisse neu schreiben wollten. Vielmehr handelte es sich um ein Werkzeug, das zeigen konnte, dass die euklidische Geometrie bestimmte Aspekte der Realität nicht abbilden konnte, den Mathematikern aber gleichzeitig einen neuen Maßstab für die Messung und Erforschung der Natur lieferte.
Um ein Fraktal zu erstellen, benötigen Sie lediglich einen rekursiven Algorithmus
Im Jahr 1906 wurde der schwedische Mathematiker Helge von Koch Er schuf eine geometrische Figur mit merkwürdigen Eigenschaften: Der Umfang dieses Objekts war unendlich lang, aber es umschrieb eine endliche Fläche. Nichts Ungewöhnliches für die Mathematik der damaligen Zeit, die verschiedene Arten scheinbarer mathematischer Paradoxien aufweisen konnte, die aus den Intuitionen von resultierten Georg Kantor. Beispielsweise wird die Menge, die seinen Namen trägt, rekursiv ausgehend von einem Segment entlang einer Maßeinheit erstellt und bei jedem Schritt das zentrale Segment um 1/3 bis 2/3 dieser Länge entfernt. Die Menge der Punkte, die durch dieses Verfahren niemals entfernt werden, ist so groß, wie das Anfangsintervall enthält, und – es scheint unglaublich, aber es ist wahr – es ist möglich, dies zu beweisen. Wie kann man durch eine einfache Eins-zu-eins-Entsprechung zeigen, dass es auf einem endlichen Halbkreis genauso viele Punkte gibt wie auf einer unendlichen geraden Linie? Stattdessen wird die Koch-Kurve durch die Wiederholung einer einzigen Anweisung (rekursiver Algorithmus) erhalten: Man nimmt ein gleichseitiges Dreieck und baut auf dem dritten Teil jeder vorhandenen Seite ein neues Dreieck auf, dessen Abmessungen um ein Drittel kleiner sind als die des vorherigen. Die Seiten des so konstruierten Dreiecks betragen zunächst 3, dann 12, dann 48 und so weiter. Die Länge des Umfangs dieser Art von Schneeflocke wird von 3 x 4/3 x 4/3 x 4/3 bis unendlich angegeben. Dennoch bleibt die Fläche der so erhaltenen Figur kleiner als die Fläche des vom ursprünglichen Dreieck umschriebenen Kreises, also eine Linie unendlicher Länge, die durch eine endliche Fläche begrenzt wird!
Mandelbrot gelang es 1977 zu zeigen, dass die Kurve, die Kochs geometrische Figur beschreibt, so kompliziert ist, dass es unmöglich ist, sie als einfache eindimensionale Linie zu betrachten. Es reicht jedoch nicht aus, als zweidimensionale Ebene betrachtet zu werden. Mithilfe der Definition von Hausdorff berechnete Mandelbrot die genaue Größe der Koch-Kurve: log 4 / log 3 = 1,261859507143… und daher etwas größer als 1. Zwischen 1978 und 1979 beschäftigte sich Mandelbrot mit der Untersuchung eines besonderen mathematischen Problems: der Ermittlung des geometrischen Ortes der Punkte der Gauß-Ebene, für die eine gegebene Folge komplexer Zahlen begrenzt war, als Funktion der Startpunkte. Ausgestattet mit einem Computer der Harvard University konnte er schließlich eine grafische Darstellung auf dem ihm zur Verfügung stehenden monochromen Display erstellen. Dieses Objekt ähnelte einer Niere und befand sich in unmittelbarer Nähe des Ursprungs der Achsen der komplexen Ebene. In IBM-Studien mit größerer Auflösung und Rechengenauigkeit besser beobachtet, kamen seine außergewöhnlichen Eigenschaften zum Vorschein: Insbesondere der Rand des Sets erwies sich als echte Überraschungsgrube und zeigte eine erstaunliche Komplexität. Bei höheren Vergrößerungen schien die Niere aus dichten Knäueln von Blasen, Tentakeln, Formen, die Seepferdchen ähnelten, sowie ganzen kleinen Gruppen zu bestehen, die fast überall verstreut waren. Daher war es interessant herauszufinden, ob es sich bei den Inseln um Inseln handelte oder ob sie durch einen subtilen Pfad aus zum Set gehörenden Punkten mit dem Hauptkörper verbunden waren. Die Bestätigung erfolgte wenig später durch die Mathematiker Adrien Douady und John H. Hubbard, zwei der wichtigsten Persönlichkeiten (Hubbard lebt noch), die die Chaostheorie umfassen kann. Mit modernen Computern ist es im Vergleich zu den ersten Experimenten möglich, wesentlich größere Teile (im Sinne von Infinitesimalen) der Ebene zu analysieren, aber ein unendlicher Teil des Ganzen wird immer noch unzugänglich bleiben, da die Präzision der Maschine eine unüberwindbare Grenze darstellt : die Anzahl der Ziffern, die er verarbeiten kann. Dies ist einer der Gründe, warum die Mandelbrot-Menge zu Recht als die angesehen wirdkomplexestes mathematisches Objekt aller Zeiten.
Die Verwendung von Fraktalen zur Beschreibung oder Modellierung des Universums
Wir haben erklärt, dass Fraktale geometrische Objekte sind, die in jedem Maßstab gleich aussehen, egal ob man sie vergrößert oder verkleinert. Als Astronomen immer größere Teile des Kosmos untersuchten, waren sie überrascht, ähnlich verklumpte Materie zu finden, allerdings in immer größeren Maßstäben. Diese Verteilung der Materie ähnelt der von a Russische Matroschka, veranlasste sie zu der Frage, ob das Universum ein Fraktal ist. Eine der allerersten Studien zur Hypothese der Verteilung von Galaxien mit einem fraktalen Muster wurde von durchgeführt Luciano Pietronero und seinem Team im Jahr 1987, während die am Anfang des Artikels erwähnte ausführliche Studie, die eine konstruktive Debatte unter Wissenschaftlern auslöste, etwa ein Jahrzehnt später erfolgte. Dies ist eine Bestätigung von Pietroneros Theorie selbst, die dank der Verfügbarkeit einer umfassenderen Katalogisierung von Galaxien möglich wurde. Zu den wichtigsten „Gegnern“ dieser Theorie gehörte die Gruppe von Astronomen der New York University unter der Leitung von David Hogg. Laut Hogg schafft die Fraktaltheorie „mehr Probleme als sie löst“, angefangen bei der Tatsache, dass alle Grundgesetze der Kosmologie neu überdacht werden sollten. Die Debatte fand in der Zeitschrift „einen fruchtbaren Boden“New Scientist„, wo jeder seine Positionen vertreten konnte und so zur Bereicherung der Gemeinschaft durch neue Informationen und Verbindungen zwischen ihnen beitrug. Auch wenn es weiterhin Zweifel an der „Dunklen Materie“ gibt, scheint sich die klassische Theorie der gleichmäßigen Verteilung der Materie bestätigt zu haben, doch gerade dank der Führung der Debatte auf dieser Ebene konnte zu dieser Schlussfolgerung gelangt werden. Wer mit den Szenarien der Forschungswelt nicht vertraut ist, könnte von der Entwicklung des Ereignisses überrascht sein Vergleich auf diese Weise, vor allem wenn man sich die Hetzreden im Fernsehen als Maßstab nimmt, die zu vielen Themen im Zusammenhang mit der medizinischen Forschung unnötigerweise auftauchen. Manchmal gibt es Meinungsverschiedenheiten nur in den Massenmedien oder sie werden – an den am wenigsten geeigneten Orten – erzeugt, bevor Wissenschaftler in einem geeigneteren Kontext überhaupt zu einer Schlussfolgerung gelangen können. Unter diesem Gesichtspunkt lässt sich festhalten, dass die erste Kartierung der Dunklen Materie in einem Teil des Universums, die Pietronero Recht zu geben schien, den italienischen Physiker nicht aus dem Gleichgewicht brachte, im Gegenteil: „Ich würde warten, bevor ich endgültige Urteile spreche.“ „, waren seine Worte bei der Veröffentlichung der Kartierung. „Weitere Beweise werden auf die eine oder andere Weise in den kommenden Monaten kommen, wenn neue Daten bekannt werden.“ Dies waren seine ersten Äußerungen.
Das erste Auftreten von Fraktalen in der Kosmologie erfolgte wahrscheinlich mit der „Theorie des ewigen, sich selbst reproduzierenden, chaotischen, inflationären Universums“, die 1986 vom russischen Physiker Andrei Linde vorgeschlagen wurde. Wenn wir über „Inflation„In der Kosmologie bedeutet es die Hypothese, dass das Universum in einer sehr frühen Phase seiner Existenz aufgrund eines großen Unterdrucks eine extrem schnelle Expansion durchlief. Mehrere Mathematiker und Physiker haben im Laufe der Jahre versucht, die Theorie eines fraktalen Universums zu stützen. unregelmäßig und klumpig, als das eines Universums homogen und isotrop (einheitlich) und nicht nur das, denn wir haben auch versucht, die beiden Modelle in Einklang zu bringen und sie in unterschiedlichen Maßstäben zu berücksichtigen. Moderne Urknalltheorien sagen voraus, dass unser „lokales“ Universum nur einen Bruchteil einer Sekunde nach dem Urknall selbst zu existieren begann, während der Rest des Universums weiterhin mit exponentieller Wachstumsrate expandierte. Der beobachtbare Teil unseres Universums wäre daher nur eine besonders gastfreundliche Region, eine Tasche, in der die Inflation endete und Sterne und Galaxien geboren wurden. Global betrachtet könnte unser Universum wie ein unendliches Fraktal sein, mit einem Mosaik aus verschiedenen Taschenuniversen, getrennt durch einen sich aufblähenden Ozean. Lokale Gesetze der Physik und Chemie können von einem Taschenuniversum zum anderen unterschiedlich sein, die zusammen ein Multiversum bilden würden. Für Stephen Hawking wäre diese Beschreibung der ewigen Inflation als Urknalltheorie jedoch falsch: „Das Problem mit der üblichen Beschreibung der ewigen Inflation – argumentierte der britische Kosmologe – besteht darin, dass sie die Existenz eines Hintergrunduniversums annimmt, das sich entwickelt.“ gemäß Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie und behandelt Quanteneffekte als kleine Schwankungen um diese herum. Die Dynamik der ewigen Inflation hebt jedoch die Trennung zwischen klassischer und Quantenphysik auf. Infolgedessen bricht Einsteins Theorie in einer ewigen Inflation zusammen. Wir gehen davon aus, dass unser Universum im größten Maßstab einigermaßen glatt und global endlich ist. Es handelt sich also nicht um eine fraktale Struktur.“
Im Wesentlichen würde das Universum bis zu vielen Größenskalen einem Fraktal ähneln, aber irgendwann bricht diese mathematische Form zusammen. Es würde keine russischen Matroschka-Puppen mehr geben. Eine Bestätigung würde durch die Untersuchung mit dem Titel „WiggleZ Dark Energy-Umfrage„, geleitet von einem jungen australischen Doktoranden, Morag Scrimgeour und seine Kollegen an der University of Western Australia in Perth. Mit dem Anglo-Australian Telescope haben Forscher die Standorte von 200.000 Galaxien lokalisiert, die ein kubisches Volumen von 3 Milliarden Lichtjahren Seitenlänge ausfüllen. Es befasst sich mit der Struktur des Universums auf Skalen, die größer sind als jede bisherige Untersuchung. Wissenschaftler haben herausgefunden, dass die Materie im gesamten Universum äußerst gleichmäßig und in extrem großen Maßstäben verteilt ist und kaum Anzeichen fraktalartiger Muster aufweist. In gewisser Weise könnte man sagen, dass das Universum dem Schnee sehr ähnlich ist: Es besteht zwar aus fraktalen Flocken, verwandelt sich jedoch in ein einheitliches Meer aus Weiß, je weiter man sich entfernt.
Konzentrieren wir uns noch einmal auf die Beiträge einzelner Forscher auf dieser Ebene und auf die globalen Schlussfolgerungen, zu denen wir gelangen konnten. Die Teilnehmer der wissenschaftlichen Debatte verteidigten beharrlich ihre Position, aber immer und nur mit den Daten und mit der angemessensten Lesart dieser. Niemand hat versucht zu betrügen und niemand ist dem sogenannten „Peer-Review„. Der für die Diskussion gewählte Ort war der korrekteste, es gab keinen Versuch, durch Gespräche mit Laien Fans zu gewinnen und niemand wagte es, sein eigenes Erfahrungs- und Studienfeld epistemisch zu überschreiten. Dies ist im Allgemeinen, wie a Wissenschaftlicher Vergleich. Jede andere Art von Vergleich ist keine nützliche Debatte, sondern ein einfacher dialektischer Wettbewerb, ein Worttheater, in dem die eingängigste oder eleganteste Sophistik vorherrscht und nicht das stichhaltigste Argument. Im Gegensatz zu dem, was in einer gewöhnlichen Debatte geschieht, reicht es in einer gesunden und konstruktiven wissenschaftlichen Debatte nicht aus, eine Hypothese aufzustellen, um das Recht zu haben, zu Wort zu kommen, sondern es ist erforderlich, dies so zu tun, dass sie abgewogen und bewertet werden kann die wissenschaftliche Methode. Es gibt kein Autoritäts- oder Demokratieprinzip, es zählt nur die Methode, die wissenschaftliche, also die Möglichkeit, nach Formulierung einer Hypothese durch ein logisch-mathematisches Vorgehen und/oder die Analyse experimenteller Fakten zu einer These zu gelangen .
