Los términos “gaussiano”, “distribución normal” o “campana de Gauss” probablemente sean conocidos incluso por quienes no han realizado estudios matemáticos o estadísticos. Si no recuerdan nada, ni siquiera en la mente del lector, es casi seguro que habrá cierta familiaridad con el curva en forma de campana descrito en el gráfico que lo representa. La razón hay que buscarla en el amplio espectro de uso de esta herramienta, en diversos campos del conocimiento humano. Van desde la física a la demografía, desde la estimación a la logística, desde la biología a la economía, desde la medicina a la astronomía, desde la psicología a la ciencia del ejercicio, desde las finanzas a la gestión empresarial. En cualquier caso, incluso quien observa por primera vez el gráfico de la campana comprende rápidamente sus características principales: hay un contraste entre el centro de la campana y sus extremos y su forma tiene un simetría perfecta.
Los primeros estudios sobre la función que describe la tendencia de la densidad de probabilidad asociada a la distribución normal fueron los del matemático francés Abraham De Moivre (1733), padre de la fórmula que lleva su nombre y que permite expresar en forma trigonométrica la potencia de un número complejo. De Moivre fue el primero en notar que la ya conocida distribución de probabilidad binomial, en el caso de una muestra muy grande, tomaba forma de campana. Sin embargo, fue el matemático, astrónomo y físico alemán. Carl Friedrich Gauss quien, en 1809, obtuvo la fórmula de esta distribución como parte de sus estudios sobre las curvas de error en las trayectorias de los asteroides. Este descubrimiento le valió a Gauss un recuerdo eterno, hasta el punto de que, en tiempos más recientes, el Bundesbank utilizó su retrato, la función matemática que utilizó y el gráfico relacionado, como efigies de los billetes de 10 marcos que circularon en Alemania hasta la entrada en vigor del euro. .
Ni De Moivre ni Gauss utilizaron jamás el término “normal” para referirse a la distribución en forma de campana que fue objeto de sus estudios. El mérito de haber hecho que esa tendencia se convirtiera en sinónimo de "normalidad" y de haber ampliado así el significado de ese adjetivo al concepto de "costumbre" y "conformidad con la media" es del astrónomo y estadístico belga. Adolphe Quetelet, quien decidió aplicar los criterios con los que se realizaban las mediciones astronómicas al estudio del ser humano y la sociedad. Hasta alrededor de 1850, el "estándar" no era más que un instrumento -aún existente- utilizado en el campo de las mediciones, que servía para establecer la "rectitud" de un ángulo. Quetelet creó estadísticas sobre las características humanas más dispares y a él le debemos el nacimiento de la idea actual de normalidad relativa al individuo y a la sociedad.
Hoy en día, la distribución normal es la distribución más importante utilizada por cualquiera que trabaje con una cantidad de datos lo suficientemente grande como para clasificarlos o interpretarlos. Como ya se mencionó, el valor medio se ubica exactamente en el centro de la distribución, al igual que la mediana y la moda. Alejándose de estos valores coincidentes, la curva se acerca cada vez más al eje x, pero nunca lo alcanza (tendencia asintótica). En su formulación genérica más clásica, la distribución normal en realidad describe una familia de distribuciones, todos con la misma forma característica, pero con campanas más o menos estrechas y puntiagudas o más anchas y planas. Estos dos factores se pueden variar utilizando sólo dos parámetros: el valor medio µ deseando desviación estándar σ (o desviación estándar). Variando µ es posible mover el eje de simetría de la curva horizontalmente, variando σ, sin embargo la curva se ensancha (para valores mayores) y se aplana (para valores más pequeños). Para indicar que una variable x se distribuye como una normal, usamos entonces escribir X ~ norte(μ,σ). Por ejemplo, los valores producidos por un proceso de medición generalmente se distribuyen normalmente, esto se debe a que, al medir repetidamente el mismo objeto, el instrumento no siempre produce el mismo valor, sino pequeñas oscilaciones alrededor del valor promedio.
Cuando una curva describe una distribución de frecuencias relativas, el área total bajo la curva es igual a 1 (la suma de las frecuencias relativas). Por tanto el área a la izquierda de la media, en una distribución normal, es igual a ½ (50% del total), al igual que el área a la derecha de la misma. Por lo tanto, casi el 70% del área se encuentra entre (x −σ) y (x +σ), hasta el 95% se encuentra entre (x − 2σ) y (x + 2σ) e incluso el 99% se encuentra entre (x − 3σ ) y (x + 3σ). Estos σ (sigma) son muy importantes para la gestión de los procesos de negocio, ya que son la base de un programa gestión de la calidad el cual fue desarrollado precisamente utilizando la campana de Gauss para lograr el mejor control posible sobre los procesos. Introducido por primera vez por la empresa de electrónica. Motorola, en la segunda mitad de los años ochenta, tenía como objetivo garantizar que sólo 3, o como máximo 4, partes de la producción sobre un millón fueran defectuosas.
Este sistema, rebautizado como “Six Sigma"precisamente en virtud de la capacidad de los extremos (x − 6σ) y (x + 6σ) de garantizar más del 99,99% de la producción en funcionamiento, dejando fuera sólo el 0,002% de la producción defectuosa, tuvo tanto éxito que se extendió a otros grandes empresas, como General Electric, Toyota, Honeywell y Microsoft. Hoy en día, el método de 6σ, además de formar parte del plan de estudios de diversas carreras formativas universitarias, es la base de una certificación muy buscada por empresas y trabajadores.
Otros ejemplos de situaciones modeladas por una distribución normal son, como ya se introdujo, la errores aleatorios en la medición de una cantidad física. El error puede ser excesivo o negativo, por lo que la variable aleatoria del error en la medición puede tomar -de forma simétrica- valores positivos o negativos. El error tiende a ser bastante pequeño, o más bien, los errores mayores son menos probables, por lo que la curva disminuye rápidamente a medida que uno se aleja de 0 (error cero), en ambas direcciones.
Quienes se ocupan de las ciencias demográficas saben perfectamente cómo, muchos cantidades relativas a una población distribución homogénea de personas, puede representarse mediante una distribución gaussiana, en la que µ es igual al valor medio del tamaño de la población. La altura, el peso, el índice de masa corporal, los valores de presión arterial, los niveles de azúcar en sangre y muchas otras características medibles tienen una distribución normal con µ y σ apropiados.
en una planta producción en masa de repuestos, el tamaño real de los objetos fabricados puede oscilar, por ejemplo, alrededor del valor medio µ, que representa el tamaño óptimo. El objetivo de quienes supervisan la maquinaria responsable de la producción en masa podría ser asegurar que la desviación estándar σ sea lo más pequeña posible.
La Escala de Inteligencia para Adultos de Wechsler (o WAIS) es el test de inteligencia más conocido y utilizado en la edad adulta y es el test a partir del cual fue posible, por primera vez, tener puntuaciones de CI estandarizadas (coeficiente intelectual), teniendo una media igual a 100 y una desviación estándar igual a 15. Nuevamente nos encontramos ante cantidades que se distribuyen a lo largo de una curva de campana como la de Gauss, que nos permiten identificar un rango poblacional en función del coeficiente intelectual. La asociación internacional "Mensa", por ejemplo, está formada por personas que han alcanzado o superado el 98% de la población mundial en función de su coeficiente intelectual, es decir, una puntuación superior a 130 en el test de Wechsler. Esto significa que se trata de sólo el 2% de la población mundial.
Los ejemplos adicionales que se pueden dar son realmente infinitos, pero ciertamente los propuestos son suficientes para apasionarse por uno mismo. la cultura científica En particular, aquel que consigue ver la belleza en los modelos matemáticos, dejarse cautivar por el encanto de una curiosa adaptación mutua -espontanea- entre la realidad y las matemáticas, que casi se refleja en la cultura humanista del arte, la delelegancia en la representación.
