Les termes « gaussienne », « distribution normale » ou « cloche gaussienne » sont probablement connus même de ceux qui n'ont pas fait d'études mathématiques ou statistiques. S'ils ne se souviennent de rien, pas même dans l'esprit du lecteur, il y aura presque certainement une certaine familiarité avec le courbe en forme de cloche décrit dans le graphique qui le représente. La raison est à chercher dans le large spectre d’utilisation de cet outil, dans divers domaines de la connaissance humaine. Ils vont de la physique à la démographie, de l'estimation à la logistique, de la biologie à l'économie, de la médecine à l'astronomie, de la psychologie aux sciences de l'exercice, de la finance à la gestion d'entreprise. Quoi qu'il en soit, même ceux qui observent le graphique en cloche pour la première fois comprennent rapidement ses principales caractéristiques : il y a un contraste entre le centre de la cloche et ses extrémités et sa forme a un symétrie parfaite.
Les premières études sur la fonction qui décrit la tendance de la densité de probabilité associée à la distribution normale ont été celles du mathématicien français Abraham De Moivre (1733), père de la formule qui porte son nom et qui permet d'exprimer sous forme trigonométrique la puissance d'un nombre complexe. De Moivre fut le premier à remarquer que la distribution de probabilité binomiale déjà connue, dans le cas d'un très grand échantillon, prenait la forme d'une cloche. Cependant, il était le mathématicien, astronome et physicien allemand Carl Friedrich Gauss qui, en 1809, obtint la formule de cette distribution dans le cadre de ses études sur les courbes d'erreur dans les trajectoires des astéroïdes. Cette découverte a valu à Gauss une mémoire éternelle, à tel point que - plus récemment - la Bundesbank a utilisé son portrait, la fonction mathématique qu'il utilisait et le graphique associé, comme effigies pour les billets de 10 marks circulant en Allemagne jusqu'à l'entrée en vigueur de l'euro. .
Ni De Moivre ni Gauss n’ont jamais utilisé le terme « normal » pour désigner la distribution en cloche qui faisait l’objet de leurs études. Le mérite d'avoir fait de cette tendance synonyme de « normalité » et d'avoir ainsi élargi le sens de cet adjectif aux notions de « coutume » et de « conforme à la moyenne » revient à l'astronome et statisticien belge. Adolphe quetelet, qui a décidé d'appliquer les critères avec lesquels les mesures astronomiques étaient effectuées à l'étude de l'être humain et de la société. Jusque vers 1850, l'« étalon » n'était rien d'autre qu'un instrument - encore existant - utilisé dans le domaine des mesures, qui servait à établir la « rectitude » d'un angle. Quetelet a créé des statistiques sur les caractéristiques humaines les plus disparates et c'est à lui que l'on doit la naissance de l'idée actuelle de normalité relative à l'individu et à la société.
Aujourd'hui, la distribution normale est la distribution la plus importante utilisée par toute personne traitant d'une quantité suffisamment importante de données à classer ou à interpréter. Comme déjà mentionné, la valeur moyenne se situe exactement au centre de la distribution, tout comme la médiane et le mode. En s'éloignant de ces valeurs coïncidentes, la courbe se rapproche de plus en plus de l'axe des x, mais ne l'atteint jamais (tendance asymptotique). Dans sa formulation générique la plus classique, la distribution normale décrit en réalité un famille de distributions, tous de même forme caractéristique, mais avec des cloches plus ou moins étroites et pointues ou plus larges et plus plates. Ces deux facteurs peuvent varier à l'aide de seulement deux paramètres : le valeur moyenne µ et écart type σ (ou écart type). En faisant varier µ il est possible de déplacer l'axe de symétrie de la courbe horizontalement, en faisant varier σ, cependant la courbe s'élargit (pour des valeurs plus grandes) et s'aplatit (pour des valeurs plus petites). Pour indiquer qu'une variable x est distribuée comme une variable normale, on utilise donc pour écrire X ~ N(μ,σ). Par exemple, les valeurs produites par un processus de mesure sont généralement distribuées normalement, car, en mesurant de manière répétée le même objet, l'instrument ne produit pas toujours la même valeur, mais de petites oscillations autour de la valeur moyenne.
Lorsqu'une courbe décrit une distribution de fréquences relatives, l'aire totale sous la courbe est égale à 1 (la somme des fréquences relatives). Par conséquent, l’aire à gauche de la moyenne, dans une distribution normale, est égale à ½ (50 % du total), tout comme l’aire à droite de celle-ci. Par conséquent, près de 70 % de la surface se situe entre (x − σ) et (x + σ), jusqu'à 95 % se situe entre (x − 2σ) et (x + 2σ) et même 99 % se situe entre (x − 3σ ) et (x + 3σ). Ces σ (sigma) ils sont très importants pour la gestion des processus métier, car ils constituent la base d'un programme gestion de la qualité qui a été développé précisément à l'aide de la cloche de Gauss pour obtenir le meilleur contrôle possible des processus. Introduit pour la première fois par la société d'électronique Motorola, dans la seconde moitié des années 3, avait pour objectif de garantir que seulement 4, au maximum XNUMX pièces de production sur un million soient défectueuses.
Ce système, renommé «Six Sigma« C'est précisément grâce à la capacité des extrêmes (x − 6σ) et (x + 6σ) à garantir bien plus de 99,99 % de la production fonctionnelle, en laissant de côté seulement 0,002 % de la production défectueuse, qu'elle a connu un tel succès qu'elle s'est propagée à d'autres de grandes entreprises telles que General Electric, Toyota, Honeywell et Microsoft. Aujourd'hui, la méthode de 6σ, en plus de faire partie du programme d'études de différents cursus universitaires, constitue la base d'une certification très recherchée par les entreprises et les travailleurs.
D'autres exemples de situations modélisées par une distribution normale sont, comme déjà introduit, la erreurs aléatoires de mesure d'une grandeur physique. L’erreur peut être excessive ou négative, donc la variable aléatoire de l’erreur de mesure peut prendre – de manière symétrique – des valeurs positives ou négatives. L'erreur a tendance à être assez petite, ou plutôt, des erreurs plus importantes sont moins probables, de sorte que la courbe diminue rapidement à mesure que l'on s'éloigne de 0 (erreur zéro), dans les deux sens.
Ceux qui s'occupent des sciences démographiques savent parfaitement combien grandeurs relatives à une population Une distribution homogène des personnes peut être représentée par une distribution gaussienne, ayant µ égal à la valeur moyenne de la taille de la population. La taille, le poids, l'indice de masse corporelle, les valeurs de tension artérielle, le taux de sucre dans le sang et de nombreuses autres caractéristiques mesurables ont une distribution normale avec µ et σ appropriés.
Dans une usine production en série de pièces de rechange, la taille réelle des objets produits peut par exemple osciller autour de la valeur moyenne µ, qui représente la taille optimale. L’objectif de ceux qui supervisent les machines responsables de la production de masse pourrait être de veiller à ce que l’écart type σ soit aussi petit que possible.
L'échelle d'intelligence pour adultes de Wechsler (ou WAIS) est le test d'intelligence le plus connu utilisé à l'âge adulte et est le test sur la base duquel il a été possible, pour la première fois, d'avoir des scores de QI standardisés (QI), ayant une moyenne égale à 100 et un écart type égal à 15. Une fois de plus, nous sommes confrontés à des quantités réparties le long d'une courbe en cloche comme celle de Gauss, qui permettent d'identifier une fourchette de population basée sur le QI. L'association internationale « Mensa » est par exemple composée de personnes ayant atteint ou dépassé 98 % de la population mondiale sur la base de leur QI, soit un score supérieur à 130 au test de Wechsler. Cela signifie que cela ne représente que 2 % de la population mondiale.
Les autres exemples qui peuvent être donnés sont vraiment infinis, mais ceux proposés suffisent certainement à se passionner pour un sujet. la culture scientifique particulier, celui qui parvient à voir la beauté des modèles mathématiques, à se laisser captiver par le charme d'une curieuse adaptation mutuelle - spontanée - entre réalité et mathématiques, qui se reflète presque dans la culture humaniste de l'art, celle deélégance dans la représentation.
