शब्द "गाऊसियन", "सामान्य वितरण" या "गाऊसियन बेल" शायद वे लोग भी जानते हैं जिन्होंने गणितीय या सांख्यिकीय अध्ययन नहीं किया है। यदि उन्हें कुछ भी याद नहीं है, यहां तक कि पाठक के दिमाग में भी नहीं, तो लगभग निश्चित रूप से उनके साथ एक निश्चित परिचितता होगी घंटी के आकार का वक्र ग्राफ़ में वर्णित है जो इसका प्रतिनिधित्व करता है। इसका कारण मानव ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में इस उपकरण के व्यापक उपयोग में पाया जाना है। इनमें भौतिकी से लेकर जनसांख्यिकी तक, अनुमान से लेकर लॉजिस्टिक्स तक, जीव विज्ञान से लेकर अर्थशास्त्र तक, चिकित्सा से लेकर खगोल विज्ञान तक, मनोविज्ञान से लेकर व्यायाम विज्ञान तक, वित्त से लेकर व्यवसाय प्रबंधन तक शामिल हैं। किसी भी मामले में, यहां तक कि जो लोग पहली बार घंटी का ग्राफ देखते हैं वे भी इसकी मुख्य विशेषताओं को तुरंत समझ जाते हैं: घंटी के केंद्र और उसके चरम के बीच एक अंतर होता है और इसके आकार में एक अंतर होता है। पूर्ण समरूपता.
सामान्य वितरण से जुड़े संभाव्यता घनत्व की प्रवृत्ति का वर्णन करने वाले फ़ंक्शन पर पहला अध्ययन फ्रांसीसी गणितज्ञ का था अब्राहम डेमोइवरे (1733), उस सूत्र के जनक जो उनके नाम पर है और जो एक जटिल संख्या की शक्ति को त्रिकोणमितीय रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है। डी मोइवर ने सबसे पहले इस बात पर ध्यान दिया कि पहले से ही ज्ञात द्विपद संभाव्यता वितरण, एक बहुत बड़े नमूने के मामले में, एक घंटी का आकार ले लेता है। हालाँकि, वह जर्मन गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और भौतिक विज्ञानी थे कार्ल फ्रेडरिक गॉस जिन्होंने 1809 में क्षुद्रग्रहों के प्रक्षेप पथ में त्रुटि वक्रों पर अपने अध्ययन के भाग के रूप में इस वितरण का सूत्र प्राप्त किया। इस खोज ने गॉस की चिरस्थायी स्मृति अर्जित कर ली, इतना अधिक कि - हाल के दिनों में - बुंडेसबैंक ने उनके चित्र, उनके द्वारा उपयोग किए गए गणितीय फ़ंक्शन और संबंधित ग्राफ़ का उपयोग यूरो के लागू होने तक जर्मनी में प्रसारित होने वाले 10 मार्क बैंक नोटों के पुतलों के रूप में किया। .
न तो डी मोइवरे और न ही गॉस ने कभी भी घंटी के आकार के वितरण को संदर्भित करने के लिए "सामान्य" शब्द का उपयोग किया जो उनके अध्ययन का उद्देश्य था। उस प्रवृत्ति को "सामान्यता" का पर्याय बनाने और इसलिए "कस्टम" और "औसत के अनुरूप" की अवधारणा के लिए उस विशेषण के अर्थ का विस्तार करने का श्रेय बेल्जियम के खगोलशास्त्री और सांख्यिकीविद् को जाता है। एडोल्फ क्वेटलेट, जिन्होंने मानव और समाज के अध्ययन के लिए उन मानदंडों को लागू करने का निर्णय लिया जिनके साथ खगोलीय माप किए गए थे। लगभग 1850 तक, "मानक" एक उपकरण से अधिक कुछ नहीं था - जो अभी भी अस्तित्व में है - माप के क्षेत्र में उपयोग किया जाता है, जो एक कोण की "सीधापन" स्थापित करने के लिए कार्य करता है। क्वेटलेट ने सबसे असमान मानवीय विशेषताओं पर आँकड़े बनाए और उन्हीं के कारण हम व्यक्ति और समाज से संबंधित सामान्यता के वर्तमान विचार के जन्म का श्रेय देते हैं।
आज, सामान्य वितरण सबसे महत्वपूर्ण वितरण है जिसका उपयोग किसी भी व्यक्ति द्वारा वर्गीकृत या व्याख्या करने के लिए पर्याप्त मात्रा में डेटा से निपटने के लिए किया जाता है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, माध्य मान बिल्कुल वितरण के केंद्र में स्थित है, जैसे कि माध्यिका और मोड हैं। इन संपाती मानों से दूर जाने पर, वक्र x-अक्ष के और करीब आता जाता है, लेकिन उस तक कभी नहीं पहुंचता (स्पर्शोन्मुख प्रवृत्ति)। अपने सबसे शास्त्रीय सामान्य सूत्रीकरण में, सामान्य वितरण वास्तव में एक का वर्णन करता है वितरण का परिवार, सभी समान विशिष्ट आकार के साथ, लेकिन घंटियों के साथ जो कमोबेश संकीर्ण और नुकीली या चौड़ी और चपटी होती हैं। इन दो कारकों को केवल दो मापदंडों का उपयोग करके भिन्न किया जा सकता है: औसत मान µ और मानक विचलन σ (या मानक विचलन)। µ को अलग-अलग करके, σ को अलग-अलग करके वक्र के समरूपता अक्ष को क्षैतिज रूप से स्थानांतरित करना संभव है, हालांकि वक्र चौड़ा हो जाता है (बड़े मानों के लिए) और चपटा हो जाता है (छोटे मानों के लिए)। यह इंगित करने के लिए कि एक चर x को सामान्य की तरह वितरित किया जाता है, इसलिए हम X ~ लिखने के लिए उपयोग करते हैं एन(µ,σ). उदाहरण के लिए, माप प्रक्रिया द्वारा उत्पादित मान आम तौर पर सामान्य रूप से वितरित होते हैं, ऐसा इसलिए होता है क्योंकि, एक ही वस्तु को बार-बार मापने से, उपकरण हमेशा एक ही मान उत्पन्न नहीं करता है, बल्कि औसत मूल्य के आसपास छोटे दोलन उत्पन्न करता है।
जब कोई वक्र सापेक्ष आवृत्तियों के वितरण का वर्णन करता है, तो वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल 1 (सापेक्ष आवृत्तियों का योग) के बराबर होता है। इसलिए सामान्य वितरण में माध्य के बायीं ओर का क्षेत्रफल, ½ (कुल का 50%) के बराबर होता है, जैसा कि इसके दाहिनी ओर का क्षेत्रफल होता है। इसलिए, लगभग 70% क्षेत्र (x −σ) और (x +σ) के बीच है, 95% क्षेत्र (x − 2σ) और (x + 2σ) के बीच है और यहां तक कि 99% क्षेत्र (x − 3σ) के बीच है ) और (x + 3σ). इन σ (सिग्मा) वे व्यावसायिक प्रक्रियाओं के प्रबंधन के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे एक कार्यक्रम का आधार हैं गुणवत्ता प्रबंधन जिसे प्रक्रियाओं पर सर्वोत्तम संभव नियंत्रण प्राप्त करने के लिए गॉस घंटी का उपयोग करके सटीक रूप से विकसित किया गया था। सबसे पहले इलेक्ट्रॉनिक्स कंपनी द्वारा पेश किया गया मोटोरोलाअस्सी के दशक के उत्तरार्ध में, इसका उद्देश्य यह सुनिश्चित करना था कि उत्पादन के दस लाख में से केवल 3, अधिकतम 4 हिस्से ख़राब हों।
इस प्रणाली का नाम बदलकर "सिक्स सिग्मा"बिल्कुल चरम सीमा (x - 6σ) और (x + 6σ) की 99,99% से अधिक कामकाजी उत्पादन की गारंटी देने की क्षमता के आधार पर, केवल 0,002% दोषपूर्ण उत्पादन को छोड़कर, यह इतना सफल था कि यह अन्य में फैल गया प्रमुख कंपनियाँ, जैसे जनरल इलेक्ट्रिक, टोयोटा, हनीवेल और माइक्रोसॉफ्ट। आज की विधि 6σविभिन्न विश्वविद्यालय शैक्षिक पाठ्यक्रमों के अध्ययन कार्यक्रम का हिस्सा होने के अलावा, यह कंपनियों और श्रमिकों द्वारा मांगे जाने वाले प्रमाणीकरण का आधार है।
सामान्य वितरण द्वारा प्रतिरूपित स्थितियों के अन्य उदाहरण, जैसा कि पहले ही प्रस्तुत किया जा चुका है, हैं माप में यादृच्छिक त्रुटियाँ एक भौतिक मात्रा का. त्रुटि अत्यधिक या नकारात्मक हो सकती है, इसलिए माप में त्रुटि का यादृच्छिक चर - सममित तरीके से - सकारात्मक या नकारात्मक मान ले सकता है। त्रुटि काफी छोटी होती है, या यूं कहें कि बड़ी त्रुटियों की संभावना कम होती है, इसलिए जैसे-जैसे कोई 0 (शून्य त्रुटि) से दूर जाता है, दोनों दिशाओं में वक्र तेजी से घटता जाता है।
जो लोग जनसांख्यिकी विज्ञान से निपटते हैं वे अच्छी तरह से जानते हैं कि कैसे, बहुत से लोग जनसंख्या से संबंधित मात्राएँ लोगों के सजातीय वितरण को गॉसियन वितरण द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसमें µ जनसंख्या में आकार के औसत मूल्य के बराबर है। ऊंचाई, वजन, बॉडी मास इंडेक्स, रक्तचाप मान, रक्त शर्करा का स्तर और कई अन्य मापनीय विशेषताओं का उचित µ और σ के साथ सामान्य वितरण होता है।
एक पौधे में स्पेयर पार्ट्स का बड़े पैमाने पर उत्पादनउदाहरण के लिए, उत्पादित वस्तुओं का वास्तविक आकार औसत मान µ के आसपास दोलन कर सकता है, जो इष्टतम आकार का प्रतिनिधित्व करता है। बड़े पैमाने पर उत्पादन के लिए जिम्मेदार मशीनरी की देखरेख करने वालों का उद्देश्य यह सुनिश्चित करना हो सकता है कि मानक विचलन σ जितना संभव हो उतना छोटा हो।
वेक्स्लर एडल्ट इंटेलिजेंस स्केल (या WAIS) वयस्कता में उपयोग किया जाने वाला सबसे प्रसिद्ध खुफिया परीक्षण है और यह वह परीक्षण है जिसके आधार पर पहली बार, मानकीकृत IQ स्कोर प्राप्त करना संभव हुआ (आईक्यू), जिसका माध्य 100 के बराबर और मानक विचलन 15 के बराबर है। एक बार फिर हमें उन मात्राओं का सामना करना पड़ता है जो गॉस की तरह घंटी वक्र के साथ वितरित की जाती हैं, जो हमें IQ के आधार पर जनसंख्या सीमा की पहचान करने की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, अंतर्राष्ट्रीय "मेन्सा" एसोसिएशन ऐसे लोगों से बना है, जो अपने आईक्यू के आधार पर दुनिया की 98% आबादी तक पहुँच चुके हैं या उससे अधिक हैं, यानी वेक्स्लर परीक्षण पर 130 से अधिक स्कोर। इसका मतलब यह है कि यह दुनिया की आबादी का केवल 2% है।
आगे जो उदाहरण दिए जा सकते हैं वे वास्तव में अनंत हैं, लेकिन निश्चित रूप से जो प्रस्तावित हैं वे किसी को भी किसी के प्रति भावुक होने के लिए पर्याप्त हैं वैज्ञानिक संस्कृति विशेष रूप से, वह जो गणितीय मॉडलों में सुंदरता को देखने का प्रबंधन करता है, वास्तविकता और गणित के बीच एक जिज्ञासु पारस्परिक अनुकूलन के आकर्षण द्वारा कब्जा कर लिया जाता है - सहज - जो कला की मानवतावादी संस्कृति में लगभग परिलक्षित होता है।प्रतिनिधित्व में लालित्य.
