Termenii „gauss”, „distribuție normală” sau „clopot gauss” sunt probabil cunoscuți chiar și de cei care nu au făcut studii matematice sau statistice. Dacă nu își amintesc nimic, nici măcar în mintea cititorului, aproape sigur va exista o anumită familiaritate cu curbă în formă de clopot descrise în graficul care o reprezintă. Motivul este de găsit în spectrul larg de utilizare a acestui instrument, în diverse domenii ale cunoașterii umane. Acestea variază de la fizică la demografie, de la estimare la logistică, de la biologie la economie, de la medicină la astronomie, de la psihologie la știința exercițiului, de la finanțe la managementul afacerilor. În orice caz, chiar și cei care observă pentru prima dată graficul clopotului înțeleg rapid principalele sale caracteristici: există un contrast între centrul clopotului și extremele sale, iar forma sa are o simetrie perfectă.
Primele studii asupra funcției care descrie tendința densității de probabilitate asociată cu distribuția normală au fost cele ale matematicianului francez Abraham DeMoivre (1733), părintele formulei care îi poartă numele și care permite exprimarea puterii unui număr complex în formă trigonometrică. De Moivre a fost primul care a observat că distribuția de probabilitate binomială deja cunoscută, în cazul unui eșantion foarte mare, a căpătat o formă de clopot. Cu toate acestea, el a fost matematicianul, astronomul și fizicianul german Carl Friedrich Gauss care, în 1809, a obținut formula acestei distribuții ca parte a studiilor sale asupra curbelor de eroare în traiectoriile asteroizilor. Această descoperire i-a adus lui Gauss amintire veșnică, atât de mult încât – în vremuri mai recente – Bundesbank a folosit portretul său, funcția matematică pe care a folosit-o și graficul aferent, ca efigii pentru bancnotele de 10 mărci care circulau în Germania până la intrarea în vigoare a monedei euro. .
Nici De Moivre, nici Gauss nu au folosit vreodată termenul „normal” pentru a se referi la distribuția în formă de clopot care a făcut obiectul studiilor lor. Meritul de a fi făcut ca această tendință să devină sinonimă cu „normalitatea” și de a fi extins, prin urmare, sensul acelui adjectiv la conceptul de „personalizat” și „conform la medie” îi revine astronomului și statisticianului belgian. Adolphe Quetelet, care a decis să aplice criteriile cu care s-au efectuat măsurătorile astronomice la studiul ființelor umane și al societății. Până în jurul anului 1850, „etalonul” nu era altceva decât un instrument – încă existent – folosit în domeniul măsurătorilor, care servea la stabilirea „drepteței” unui unghi. Quetelet a creat statistici asupra celor mai disparate caracteristici umane și lui îi datorăm nașterea ideii actuale de normalitate referitoare la individ și societate.
Astăzi, distribuția normală este cea mai importantă distribuție folosită de oricine se ocupă cu o cantitate suficient de mare de date pentru a le clasifica sau interpreta. După cum sa menționat deja, valoarea medie este situată exact în centrul distribuției, la fel ca mediana și modul. Îndepărtându-se de aceste valori coincidente, curba se apropie din ce în ce mai mult de axa x, dar nu o atinge niciodată (tendință asimptotică). În formularea sa generică cea mai clasică, distribuția normală descrie de fapt a familie de distribuții, toate cu aceeași formă caracteristică, dar cu clopoței mai mult sau mai puțin înguste și ascuțite sau mai late și mai plate. Acești doi factori pot fi variați folosind doar doi parametri: the valoarea medie µ și abaterea standard σ (sau abaterea standard). Variind µ este posibilă deplasarea orizontală a axei de simetrie a curbei, variind σ, însă curba se lărgește (pentru valori mai mari) și se aplatizează (pentru valori mai mici). Pentru a indica faptul că o variabilă x este distribuită ca una normală, folosim deci să scriem X ~ N(µ,σ). De exemplu, valorile produse de un proces de măsurare sunt, în general, distribuite în mod normal, aceasta deoarece, prin măsurarea repetată a aceluiași obiect, instrumentul nu produce întotdeauna aceeași valoare, ci mici oscilații în jurul valorii medii.
Când o curbă descrie o distribuție a frecvențelor relative, aria totală de sub curbă este egală cu 1 (suma frecvențelor relative). Prin urmare, aria din stânga mediei, într-o distribuție normală, este egală cu ½ (50% din total), ca și aria din dreapta acesteia. Prin urmare, aproape 70% din zonă se află între (x −σ) și (x +σ), cât 95% se află între (x − 2σ) și (x + 2σ) și chiar 99% se află între (x − 3σ). ) și (x + 3σ). Aceste σ (sigma) sunt foarte importante pentru managementul proceselor de afaceri, deoarece stau la baza unui program administrare de calitate care a fost dezvoltat tocmai folosind clopotul Gauss pentru a realiza cel mai bun control posibil asupra proceselor. Introdus pentru prima dată de compania de electronice Motorola, în a doua jumătate a anilor optzeci, avea ca obiectiv să se asigure că doar 3, cel mult 4 părți de producție dintr-un milion erau defecte.
Acest sistem, redenumit „Six Sigma„Tocmai în virtutea capacității extremelor (x − 6σ) și (x + 6σ) de a garanta cu mult peste 99,99% din producția funcțională, lăsând deoparte doar 0,002% din producția defectuoasă, a avut atât de mult succes încât s-a răspândit la alte companii importante, precum General Electric, Toyota, Honeywell și Microsoft. Astăzi, metoda de 6σ, pe lângă faptul că face parte din programul de studii al diferitelor cursuri de învățământ universitar, stă la baza unei certificări mult căutate de companii și muncitori.
Alte exemple de situații modelate printr-o distribuție normală sunt, așa cum am fost deja introduse, cele erori aleatorii de măsurare a unei marimi fizice. Eroarea poate fi excesivă sau negativă, prin urmare variabila aleatoare a erorii în măsurare poate lua – în mod simetric – valori pozitive sau negative. Eroarea tinde să fie destul de mică, sau mai degrabă, erorile mai mari sunt mai puțin probabile, astfel încât curba scade rapid pe măsură ce se îndepărtează de 0 (eroare zero), în ambele direcții.
Cei care se ocupă de științe demografice știu perfect cum, mulți cantități referitoare la o populație distribuția omogenă a oamenilor, poate fi reprezentată printr-o distribuție gaussiană, având µ egal cu valoarea medie a mărimii în populație. Înălțimea, greutatea, indicele de masă corporală, valorile tensiunii arteriale, nivelurile de zahăr din sânge și multe alte caracteristici măsurabile au o distribuție normală cu µ și σ corespunzătoare.
Într-o plantă producția de masă de piese de schimb, dimensiunea reală a obiectelor produse poate, de exemplu, să oscileze în jurul valorii medii µ, care reprezintă dimensiunea optimă. Obiectivul celor care supraveghează mașinile responsabile de producția de masă ar putea fi să se asigure că abaterea standard σ este cât mai mică posibil.
Wechsler Adult Intelligence Scale (sau WAIS) este cel mai cunoscut test de inteligență folosit la vârsta adultă și este testul pe baza căruia a fost posibil, pentru prima dată, să existe scoruri standardizate de IQ (IQ), având o medie egală cu 100 și o abatere standard egală cu 15. Încă o dată ne confruntăm cu cantități care sunt distribuite de-a lungul unei curbe clopot precum cea a lui Gauss, care ne permit să identificăm un interval de populație pe baza IQ. Asociația internațională „Mensa”, de exemplu, este formată din persoane care au atins sau au depășit 98% din populația lumii pe baza IQ-ului lor, adică un scor mai mare de 130 la testul Wechsler. Aceasta înseamnă că aceasta reprezintă doar 2% din populația lumii.
Exemplele suplimentare care pot fi date sunt cu adevărat infinite, dar cu siguranță cele propuse sunt suficiente pentru a lăsa pe cineva să devină pasionat de cineva. cultura stiintifica în special, cel care reușește să vadă frumusețea în modelele matematice, să fie surprins de farmecul unei curioase adaptări reciproce - spontane - între realitate și matematică, care se reflectă aproape în cultura umanistă a artei, cea aeleganţă în reprezentare.
