"গাউসিয়ান", "সাধারণ বন্টন" বা "গাউসিয়ান বেল" শব্দগুলি সম্ভবত যারা গাণিতিক বা পরিসংখ্যানগত অধ্যয়ন করেননি তাদের কাছেও পরিচিত। যদি তারা কিছু মনে না করে, এমনকি পাঠকের মনেও না, তবে প্রায় নিশ্চিতভাবেই তাদের সাথে একটি নির্দিষ্ট পরিচিতি থাকবে। ঘণ্টা আকৃতির বক্ররেখা গ্রাফে বর্ণিত যা এটিকে প্রতিনিধিত্ব করে। কারণটি মানুষের জ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে এই সরঞ্জামটির ব্যবহারের বিস্তৃত বর্ণালীতে পাওয়া যায়। তারা পদার্থবিদ্যা থেকে জনসংখ্যা, অনুমান থেকে লজিস্টিক, জীববিদ্যা থেকে অর্থনীতি, ঔষধ থেকে জ্যোতির্বিদ্যা, মনোবিজ্ঞান থেকে ব্যায়াম বিজ্ঞান, অর্থ থেকে ব্যবসা ব্যবস্থাপনা পর্যন্ত পরিসীমা. যাই হোক না কেন, এমনকি যারা প্রথমবারের মতো বেল গ্রাফটি পর্যবেক্ষণ করে তারা দ্রুত এর প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি বুঝতে পারে: ঘণ্টার কেন্দ্র এবং এর চরমগুলির মধ্যে একটি বৈসাদৃশ্য রয়েছে এবং এর আকৃতির একটি রয়েছে নিখুঁত প্রতিসাম্য.
ফাংশনের প্রথম গবেষণা যা স্বাভাবিক বণ্টনের সাথে যুক্ত সম্ভাব্য ঘনত্বের প্রবণতা বর্ণনা করে তা ছিল ফরাসি গণিতবিদদের আব্রাহাম ডেমোইভার (1733), সূত্রের জনক যা তার নাম বহন করে এবং যা একটি জটিল সংখ্যার শক্তিকে ত্রিকোণমিতিক আকারে প্রকাশ করতে দেয়। De Moivre প্রথম লক্ষ্য করেছিলেন যে ইতিমধ্যে পরিচিত দ্বিপদ সম্ভাব্যতা বন্টন, একটি খুব বড় নমুনার ক্ষেত্রে, একটি ঘণ্টার আকার নিয়েছে। তবে তিনি ছিলেন জার্মান গণিতবিদ, জ্যোতির্বিদ এবং পদার্থবিদ কার্ল ফ্রিডরিচ গাউস যিনি, 1809 সালে, গ্রহাণুর গতিপথের ত্রুটির বক্ররেখার উপর তার গবেষণার অংশ হিসাবে এই বিতরণের সূত্রটি পেয়েছিলেন। এই আবিষ্কারটি গাউসের চিরস্থায়ী স্মৃতি অর্জন করেছে, এত বেশি যে - সাম্প্রতিক সময়ে - বুন্দেসব্যাঙ্ক তার প্রতিকৃতি, গাণিতিক ফাংশন এবং সম্পর্কিত গ্রাফ ব্যবহার করেছে, ইউরো কার্যকর হওয়া পর্যন্ত জার্মানিতে প্রচারিত 10 মার্কের ব্যাঙ্কনোটের প্রতিমূর্তি হিসাবে .
De Moivre বা Gauss কেউই কখনো "স্বাভাবিক" শব্দটি ব্যবহার করেননি বেল-আকৃতির বন্টনকে বোঝাতে যা তাদের অধ্যয়নের উদ্দেশ্য ছিল। সেই প্রবণতাটিকে "স্বাভাবিকতা"-এর সমার্থক হয়ে ওঠার যোগ্যতা এবং সেই কারণে এই বিশেষণটির অর্থকে "কাস্টম" এবং "গড়ের সাথে মানানসই" ধারণার সাথে প্রসারিত করার যোগ্যতা বেলজিয়ান জ্যোতির্বিজ্ঞানী এবং পরিসংখ্যানবিদদের কাছে যায়। Adolphe quetelet, যিনি মানব ও সমাজের অধ্যয়নের জন্য জ্যোতির্বিদ্যার পরিমাপ করা হয়েছিল এমন মানদণ্ড প্রয়োগ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন। প্রায় 1850 সাল পর্যন্ত, "স্ট্যান্ডার্ড" একটি যন্ত্র ছাড়া আর কিছুই ছিল না - এখনও বিদ্যমান - পরিমাপের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যা একটি কোণের "সরলতা" প্রতিষ্ঠা করতে কাজ করে। Quetelet সবচেয়ে বৈষম্যপূর্ণ মানব বৈশিষ্ট্যের পরিসংখ্যান তৈরি করেছেন এবং ব্যক্তি ও সমাজের সাথে সম্পর্কিত স্বাভাবিকতার বর্তমান ধারণার জন্মের জন্য আমরা তার কাছে ঋণী।
আজ, সাধারণ বন্টন হল সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বন্টন যা যে কেউ শ্রেণীবদ্ধ বা ব্যাখ্যা করার জন্য যথেষ্ট পরিমাণ ডেটা নিয়ে কাজ করে। ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, গড় মানটি বন্টনের কেন্দ্রে অবস্থিত, যেমন মধ্যমা এবং মোড। এই কাকতালীয় মানগুলি থেকে দূরে সরে গেলে, বক্ররেখাটি x-অক্ষের কাছাকাছি এবং কাছাকাছি চলে আসে, কিন্তু এটি কখনই পৌঁছায় না (অ্যাসিম্পটোটিক প্রবণতা)। এর সবচেয়ে ধ্রুপদী জেনেরিক সূত্রে, স্বাভাবিক বণ্টন আসলে একটি বর্ণনা করে বিতরণের পরিবার, সব একই চরিত্রগত আকৃতির সাথে, কিন্তু ঘণ্টার সাথে যা কম-বেশি সরু এবং পয়েন্টেড বা চওড়া এবং চাটুকার। এই দুটি কারণ মাত্র দুটি পরামিতি ব্যবহার করে বৈচিত্র্যময় হতে পারে: গড় মান µ এবং এটা আদর্শ বিচ্যুতি σ (বা প্রমিত বিচ্যুতি)। µ পরিবর্তিত হলে বক্ররেখার প্রতিসাম্য অক্ষকে অনুভূমিকভাবে সরানো সম্ভব, σ পরিবর্তিত হয়ে, তবে বক্রতা প্রশস্ত হয় (বড় মানের জন্য) এবং সমতল হয় (ছোট মানের জন্য)। একটি পরিবর্তনশীল x একটি স্বাভাবিকের মতো বিতরণ করা হয় তা বোঝাতে, তাই আমরা X ~ লিখতে ব্যবহার করি N(µ,σ). উদাহরণস্বরূপ, একটি পরিমাপ প্রক্রিয়া দ্বারা উত্পাদিত মানগুলি সাধারণত সাধারণভাবে বিতরণ করা হয়, এর কারণ হল, একই বস্তুকে বারবার পরিমাপ করার মাধ্যমে, যন্ত্রটি সবসময় একই মান তৈরি করে না, তবে গড় মানের চারপাশে ছোট দোলন তৈরি করে।
যখন একটি বক্ররেখা আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির একটি বন্টন বর্ণনা করে, তখন বক্ররেখার অধীনে মোট ক্ষেত্রফল 1 (আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সির যোগফল) এর সমান হয়। তাই গড়টির বাম দিকের ক্ষেত্রফল, একটি স্বাভাবিক বন্টনে ½ (মোট 50%) এর ডানদিকের ক্ষেত্রফলের সমান। অতএব, প্রায় 70% এলাকা (x −σ) এবং (x +σ) এর মধ্যে অবস্থিত, যেমন 95% (x −2σ) এবং (x + 2σ) এর মধ্যে এবং এমনকি 99% (x −3σ) এর মধ্যে অবস্থিত ) এবং (x + 3σ)। এইগুলো σ (সিগমা) এগুলি ব্যবসায়িক প্রক্রিয়া পরিচালনার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু তারা একটি প্রোগ্রামের ভিত্তি গুনমান ব্যবস্থাপনা যা প্রক্রিয়াগুলির উপর সর্বোত্তম সম্ভাব্য নিয়ন্ত্রণ অর্জনের জন্য গাউস বেল ব্যবহার করে সুনির্দিষ্টভাবে বিকাশ করা হয়েছিল। ইলেকট্রনিক্স কোম্পানি দ্বারা প্রথম চালু করা হয় মটোরোলা, আশির দশকের দ্বিতীয়ার্ধে, একটি মিলিয়নের মধ্যে মাত্র 3টি, উৎপাদনের সর্বাধিক 4টি অংশ ত্রুটিপূর্ণ ছিল তা নিশ্চিত করার লক্ষ্য ছিল।
এই সিস্টেমের নাম পরিবর্তন করা হয়েছে "ছয় সিগমা"সুনির্দিষ্টভাবে চরম ক্ষমতার গুণে (x − 6σ) এবং (x + 6σ) কার্যকারি উত্পাদনের 99,99% এরও বেশি গ্যারান্টি দেওয়ার জন্য, ত্রুটিপূর্ণ উত্পাদনের মাত্র 0,002% বাদ দিয়ে, এটি এতটাই সফল হয়েছিল যে এটি অন্যান্য দেশে ছড়িয়ে পড়ে। বড় কোম্পানি, যেমন জেনারেল ইলেকট্রিক, টয়োটা, হানিওয়েল এবং মাইক্রোসফট। আজ, পদ্ধতি 6σ, বিভিন্ন বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষামূলক কোর্সের অধ্যয়ন কর্মসূচির অংশ হওয়ার পাশাপাশি, কোম্পানি এবং কর্মীদের দ্বারা অনেক বেশি চাওয়া একটি শংসাপত্রের ভিত্তি।
একটি স্বাভাবিক বন্টন দ্বারা মডেল করা পরিস্থিতির অন্যান্য উদাহরণ, ইতিমধ্যেই চালু করা হয়েছে, পরিমাপের এলোমেলো ত্রুটি একটি শারীরিক পরিমাণ. ত্রুটিটি অত্যধিক বা নেতিবাচক হতে পারে, তাই পরিমাপের ত্রুটির এলোমেলো পরিবর্তনশীল - একটি প্রতিসম উপায়ে - ইতিবাচক বা ঋণাত্মক মানগুলি গ্রহণ করতে পারে। ত্রুটিটি খুব ছোট হতে থাকে, বা বরং, বড় ত্রুটির সম্ভাবনা কম থাকে, তাই বক্ররেখা দ্রুত হ্রাস পায় যখন একজন 0 (শূন্য ত্রুটি) থেকে উভয় দিকে সরে যায়।
যারা ডেমোগ্রাফিক সায়েন্স নিয়ে কাজ করেন তারা ভালোভাবে জানেন কিভাবে, অনেকেই একটি জনসংখ্যার সাথে সম্পর্কিত পরিমাণ মানুষের সমজাতীয় বন্টন, একটি গাউসিয়ান বন্টন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, জনসংখ্যার আকারের গড় মানের µ সমান। উচ্চতা, ওজন, শরীরের ভর সূচক, রক্তচাপের মান, রক্তে শর্করার মাত্রা এবং অন্যান্য অনেক পরিমাপযোগ্য বৈশিষ্ট্যের যথাযথ µ এবং σ সহ একটি স্বাভাবিক বন্টন রয়েছে।
একটি উদ্ভিদ মধ্যে খুচরা যন্ত্রাংশ ব্যাপক উত্পাদন, উত্পাদিত বস্তুর প্রকৃত আকার, উদাহরণস্বরূপ, গড় মান µ এর চারপাশে দোদুল্যমান হতে পারে, যা সর্বোত্তম আকারের প্রতিনিধিত্ব করে। যারা ব্যাপক উৎপাদনের জন্য দায়ী যন্ত্রপাতি তত্ত্বাবধান করেন তাদের উদ্দেশ্য হতে পারে নিশ্চিত করা যে মান বিচ্যুতি σ যতটা সম্ভব ছোট।
ওয়েচসলার অ্যাডাল্ট ইন্টেলিজেন্স স্কেল (বা WAIS) হল সবচেয়ে সুপরিচিত বুদ্ধিমত্তা পরীক্ষা যা প্রাপ্তবয়স্ক অবস্থায় ব্যবহৃত হয় এবং এটি এমন একটি পরীক্ষা যার উপর ভিত্তি করে প্রথমবারের মতো আইকিউ স্কোর প্রমিত করা সম্ভব হয়েছিল (আইকিউ), যার গড় 100 এর সমান এবং 15 এর সমান একটি আদর্শ বিচ্যুতি। আবারও আমরা এমন পরিমাণের সম্মুখীন হচ্ছি যেগুলি গাউসের মতো একটি বেল বক্ররেখা বরাবর বিতরণ করা হয়, যা আমাদের IQ এর উপর ভিত্তি করে একটি জনসংখ্যার পরিসর সনাক্ত করতে দেয়। উদাহরণস্বরূপ, আন্তর্জাতিক "মেনসা" অ্যাসোসিয়েশন এমন লোকদের নিয়ে গঠিত যারা তাদের IQ-এর ভিত্তিতে বিশ্বের জনসংখ্যার 98% ছুঁয়েছে বা অতিক্রম করেছে, অর্থাৎ ওয়েচসলার পরীক্ষায় 130-এর বেশি স্কোর। এর মানে হল যে এটি বিশ্বের জনসংখ্যার মাত্র 2%।
আরও যে উদাহরণগুলি দেওয়া যেতে পারে তা সত্যই অসীম, তবে অবশ্যই প্রস্তাবিতগুলি একজনের সম্পর্কে উত্সাহী হতে দেওয়ার জন্য যথেষ্ট। বৈজ্ঞানিক সংস্কৃতি বিশেষ করে, যিনি গাণিতিক মডেলগুলিতে সৌন্দর্য দেখতে পরিচালনা করেন, একটি কৌতূহলী পারস্পরিক অভিযোজনের আকর্ষণ দ্বারা বন্দী হতে পারেন - স্বতঃস্ফূর্ত - বাস্তবতা এবং গণিতের মধ্যে, যা শিল্পের মানবতাবাদী সংস্কৃতিতে প্রায় প্রতিফলিত হয়,প্রতিনিধিত্ব মধ্যে কমনীয়তা.
