ربما تكون مصطلحات "Gaussian" أو "التوزيع الطبيعي" أو "Gaussian bell" معروفة حتى لأولئك الذين لم يقوموا بدراسات رياضية أو إحصائية. إذا لم يتذكروا أي شيء، ولا حتى في ذهن القارئ، فمن المؤكد تقريبًا أنه سيكون هناك معرفة معينة به منحنى على شكل جرس الموضحة في الرسم البياني الذي يمثلها. والسبب يكمن في النطاق الواسع لاستخدام هذه الأداة في مختلف مجالات المعرفة الإنسانية. وهي تتراوح من الفيزياء إلى الديموغرافيا، ومن التقدير إلى الخدمات اللوجستية، ومن علم الأحياء إلى الاقتصاد، ومن الطب إلى علم الفلك، ومن علم النفس إلى ممارسة العلوم، ومن التمويل إلى إدارة الأعمال. على أية حال، حتى أولئك الذين يلاحظون الرسم البياني للجرس لأول مرة يفهمون بسرعة خصائصه الرئيسية: هناك تباين بين مركز الجرس وأطرافه وشكله له شكل مختلف. التماثل المثالي.
الدراسات الأولى حول الدالة التي تصف اتجاه الكثافة الاحتمالية المرتبطة بالتوزيع الطبيعي كانت تلك التي أجراها عالم الرياضيات الفرنسي أبراهام دي موافر (1733)، أبو الصيغة التي تحمل اسمه والتي تسمح بالتعبير عن قوة العدد المركب في شكل مثلثي. كان دي موافر أول من لاحظ أن التوزيع الاحتمالي ذي الحدين المعروف بالفعل، في حالة العينة الكبيرة جدًا، يتخذ شكل الجرس. ومع ذلك، كان عالم الرياضيات والفلكي والفيزيائي الألماني كارل فريدريش جاوس الذي حصل عام 1809 على صيغة هذا التوزيع كجزء من دراساته حول منحنيات الخطأ في مسارات الكويكبات. أكسب هذا الاكتشاف غاوس ذاكرة أبدية، لدرجة أنه - في الآونة الأخيرة - استخدم البنك المركزي الألماني صورته، والدالة الرياضية التي استخدمها والرسم البياني ذي الصلة، كدمى للأوراق النقدية من فئة 10 ماركات المتداولة في ألمانيا حتى دخول اليورو حيز التنفيذ. .
لم يستخدم دي موافر ولا غاوس مصطلح "طبيعي" للإشارة إلى التوزيع على شكل الجرس الذي كان موضوع دراستهم. إن الفضل في جعل هذا الاتجاه مرادفاً لـ "الحالة الطبيعية" وبالتالي توسيع معنى تلك الصفة ليشمل مفهوم "مخصص" و"مطابق للمتوسط" يعود إلى عالم الفلك والإحصائي البلجيكي. أدولف كيتيليتالذي قرر تطبيق المعايير التي يتم بها إجراء القياسات الفلكية على دراسة الإنسان والمجتمع. حتى حوالي عام 1850، لم يكن "المعيار" أكثر من مجرد أداة - لا تزال موجودة - تستخدم في مجال القياسات، والتي ساعدت في تحديد "استقامة" الزاوية. أنشأ Quetelet إحصائيات حول الخصائص البشرية الأكثر تباينًا، ونحن مدينون له بميلاد الفكرة الحالية للحياة الطبيعية فيما يتعلق بالفرد والمجتمع.
اليوم، التوزيع الطبيعي هو التوزيع الأكثر أهمية الذي يستخدمه أي شخص يتعامل مع كمية كبيرة بما يكفي من البيانات لتصنيفها أو تفسيرها. كما ذكرنا سابقًا، تقع القيمة المتوسطة تمامًا في مركز التوزيع، كما هو الحال مع الوسيط والمنوال. بالابتعاد عن هذه القيم المتطابقة، يقترب المنحنى أكثر فأكثر من المحور السيني، لكنه لا يصل إليه أبدًا (الاتجاه المقارب). في صيغته العامة الأكثر كلاسيكية، يصف التوزيع الطبيعي في الواقع أ عائلة التوزيعات، كلها بنفس الشكل المميز، ولكن بأجراس تكون ضيقة ومدببة إلى حد ما، أو أوسع وأكثر استواءً. يمكن تغيير هذين العاملين باستخدام معلمتين فقط: متوسط القيمة μ و الانحراف المعياري σ (أو الانحراف المعياري). من خلال تغيير μ، من الممكن تحريك محور التماثل للمنحنى أفقيًا، عن طريق تغيير σ، ولكن المنحنى يتسع (للقيم الأكبر) ويتسطح (للقيم الأصغر). للإشارة إلى أن المتغير x يتم توزيعه مثل المتغير العادي، فإننا نستخدم كتابة X ~ ن (ميكرو، σ). على سبيل المثال، يتم توزيع القيم الناتجة عن عملية القياس بشكل طبيعي بشكل عام، وذلك لأنه من خلال قياس نفس الكائن بشكل متكرر، لا ينتج الجهاز دائمًا نفس القيمة، ولكن تذبذبات صغيرة حول القيمة المتوسطة.
عندما يصف المنحنى توزيع الترددات النسبية، فإن المساحة الإجمالية تحت المنحنى تساوي 1 (مجموع الترددات النسبية). وبالتالي فإن المساحة على يسار المتوسط، في التوزيع الطبيعي تساوي ½ (50% من الإجمالي)، وكذلك المساحة على يمينه. لذلك، ما يقرب من 70٪ من المساحة تقع بين (x −σ) و (x +σ)، بقدر 95٪ تقع بين (x − 2σ) و (x + 2σ) وحتى 99٪ تقع بين (x − 3σ) ) و (س + 3σ). هؤلاء σ (سيجما) إنها مهمة جدًا لإدارة العمليات التجارية، لأنها أساس البرنامج إدارة الجودة والذي تم تطويره بدقة باستخدام جرس غاوس لتحقيق أفضل تحكم ممكن في العمليات. تم تقديمه لأول مرة بواسطة شركة الإلكترونيات موتورولافي النصف الثاني من الثمانينات، كان هدفها التأكد من أن 3 أجزاء فقط، أو 4 أجزاء على الأكثر، من أصل مليون كانت معيبة.
تمت إعادة تسمية هذا النظام "ستة سيغما"على وجه التحديد بفضل قدرة الطرفين (x − 6σ) و (x + 6σ) على ضمان ما يزيد عن 99,99٪ من الإنتاج الفعال، مع ترك 0,002٪ فقط من الإنتاج المعيب، كان ناجحًا جدًا لدرجة أنه امتد إلى بلدان أخرى. الشركات الكبرى، مثل جنرال إلكتريك وتويوتا وهانيويل ومايكروسوفت. اليوم طريقة 6σبالإضافة إلى كونها جزءًا من البرنامج الدراسي لمختلف الدورات التعليمية الجامعية، فهي أساس الشهادة التي تسعى إليها الشركات والعاملون كثيرًا.
ومن الأمثلة الأخرى للمواقف التي تم تصميمها بواسطة التوزيع الطبيعي، كما تم تقديمها بالفعل، أخطاء عشوائية في القياس من الكمية المادية. ويمكن أن يكون الخطأ زائدا أو سالبا، وبالتالي فإن المتغير العشوائي للخطأ في القياس يمكن أن يأخذ – بطريقة متناظرة – قيما موجبة أو سالبة. يميل الخطأ إلى أن يكون صغيرًا جدًا، أو بالأحرى، تكون الأخطاء الأكبر أقل احتمالًا، وبالتالي يتناقص المنحنى بسرعة عندما يتحرك المرء بعيدًا عن 0 (خطأ صفر)، في كلا الاتجاهين.
أولئك الذين يتعاملون مع العلوم الديموغرافية يعرفون جيدًا كيف، كثيرون الكميات المتعلقة بالسكان يمكن تمثيل التوزيع المتجانس للأشخاص من خلال توزيع غاوسي، حيث تساوي μ متوسط قيمة الحجم في السكان. الطول والوزن ومؤشر كتلة الجسم وقيم ضغط الدم ومستويات السكر في الدم والعديد من الخصائص الأخرى القابلة للقياس لها توزيع طبيعي مع μ وσ المناسبين.
في نبات الإنتاج الضخم لقطع الغيار، يمكن للحجم الفعلي للكائنات المنتجة، على سبيل المثال، أن يتأرجح حول القيمة المتوسطة μ، والتي تمثل الحجم الأمثل. يمكن أن يكون هدف أولئك الذين يشرفون على الآلات المسؤولة عن الإنتاج الضخم هو التأكد من أن الانحراف المعياري σ صغير قدر الإمكان.
مقياس ذكاء البالغين Wechsler (أو WAIS) هو اختبار الذكاء الأكثر شهرة والمستخدم في مرحلة البلوغ وهو الاختبار الذي يعتمد عليه، لأول مرة، للحصول على درجات موحدة في معدل الذكاء (IQ).معدل الذكاء)، بمتوسط يساوي 100 وانحراف معياري يساوي 15. مرة أخرى، نواجه كميات موزعة على طول منحنى الجرس مثل منحنى جاوس، والذي يسمح لنا بتحديد نطاق سكاني بناءً على معدل الذكاء. فجمعية "منسا" الدولية، على سبيل المثال، تتكون من أشخاص وصلوا أو تجاوزوا 98% من سكان العالم بناء على معدل الذكاء الخاص بهم، أي درجة أكبر من 130 في اختبار ويشسلر. وهذا يعني أن هذا يمثل 2٪ فقط من سكان العالم.
والأمثلة الإضافية التي يمكن تقديمها لا حصر لها حقًا، ولكن من المؤكد أن الأمثلة المقترحة كافية لجعل المرء متحمسًا لأحدها الثقافة العلمية على وجه الخصوص، الشخص الذي يتمكن من رؤية الجمال في النماذج الرياضية، يقع في أسر سحر التكيف المتبادل الغريب - العفوي - بين الواقع والرياضيات، والذي يكاد ينعكس في الثقافة الإنسانية للفن، ثقافة الفن.الأناقة في التمثيل.
